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第52章 我!陆时羡!宝刀未老(2 / 2)

求证:存在4个函数fi(x)(i\u003d1,2,3,4)满足:

(1)对i\u003d1,2,3,4,fi(x)是偶函数,且对任意的实数x,有fi(x+π)\u003dfi(x);

(2)对任意的实数x,有f(x)\u003df1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。

题目看起来非常简洁,可是陆时羡知道最后的解答过程是题目的数倍,可能还不止。

时间不多,陆时羡决定先解决第一题。

陆时羡用屁股想都明白,凡是跟圆周率π挨上边的基本上就跟周期函数挂钩了。

他直接策反了敌方f(x)两员大将的g(x)与h(x),且g(x)是偶函数,h(x)是奇函数,对任意的x∈R,g(x+2π)\u003dg(x),h(x+2π)\u003dh(x)。

然后分别代入四条函数fi(x),i\u003d1,2,3,4。得到四条函数f1(x)、f2(x)、f2(x)、f4(x)的表达式。

故fi(x),i\u003d1,2,3,4是偶函数,且对任意的x∈R,fi(x+π)\u003dfi(x)。

这个倒是简单,极有限次数的验证只需要分别代入验证就行了,不费脑子。

陆时羡觉得只要次数在10以下,他都能接受,无非就是费点笔芯而已。

毕竟总比看半天题目无从下手的强。

不过此题好像还是给了参赛者一些余地,因为陆时羡发现第二问与第一问的关联很大。

将刚刚第一问得到的代数式代入f(x)\u003df1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x

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接下来,分情况讨论就完事了。

因为f1(x)、f2(x)、f2(x)、f4(x)因为x的取值范围,从而存在6种情况。

其中有两种已经无需讨论,已经是从实招来。

还有四种情况依然负隅抵抗,陆时羡只好使出假设杀威棒。

最后它们终于被屈打成招,也因此证明了所有六种情况完全成立。

综上所述,此式成立得证!

陆时羡长吐一口气,再用余光看向周围时,诺大的教室居然只剩下他一个人。

他忽然心里一慌,时间还没结束啊,不会吧?

自己花这么大力气证明的题目,别人这么快就做完了?

是我老了提不动屠龙刀了,还是现在的小朋友太厉害?

他一抬头,就看着监考员直盯盯地望着他。

什么意思?是我让你失望了吗?

对不起我道歉,我承认我真的是个数学渣渣。

他颇为忧郁地起身交卷,然后收拾行李,准备离开这个伤心地。

可没想到当他离开的时候,背后传来监考员的赞叹声。

“哎呦,不错哦!这个考场的人早就放弃提前走了,只有你还在默默坚持。”

陆时羡: ? ???

“不管对错,你能做完,也不愧我盯你一个人盯了一个小时了。”

陆时羡: ε? (?> 灬 <)?3

陆时羡本来低潮的心情又渐渐回升起来。

这意思好像是我还算可以,宝刀未老啊!