第52章 我！陆时羡！宝刀未老（2 / 2）

求证：存在4个函数fi(x)(i\u003d1，2，3，4)满足：

（1）对i\u003d1，2，3，4，fi(x)是偶函数，且对任意的实数x，有fi(x+π)\u003dfi(x)；

（2）对任意的实数x，有f(x)\u003df1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。

题目看起来非常简洁，可是陆时羡知道最后的解答过程是题目的数倍，可能还不止。

时间不多，陆时羡决定先解决第一题。

陆时羡用屁股想都明白，凡是跟圆周率π挨上边的基本上就跟周期函数挂钩了。

他直接策反了敌方f(x)两员大将的g(x)与h(x)，且g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，对任意的x∈R，g(x+2π)\u003dg(x)，h(x+2π)\u003dh(x)。

然后分别代入四条函数fi(x)，i\u003d1，2，3，4。得到四条函数f1(x)、f2(x)、f2(x)、f4(x)的表达式。

故fi(x)，i\u003d1，2，3，4是偶函数，且对任意的x∈R，fi(x+π)\u003dfi(x)。

这个倒是简单，极有限次数的验证只需要分别代入验证就行了，不费脑子。

陆时羡觉得只要次数在10以下，他都能接受，无非就是费点笔芯而已。

毕竟总比看半天题目无从下手的强。

不过此题好像还是给了参赛者一些余地，因为陆时羡发现第二问与第一问的关联很大。

将刚刚第一问得到的代数式代入f(x)\u003df1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x

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接下来，分情况讨论就完事了。

因为f1(x)、f2(x)、f2(x)、f4(x)因为x的取值范围，从而存在6种情况。

其中有两种已经无需讨论，已经是从实招来。

还有四种情况依然负隅抵抗，陆时羡只好使出假设杀威棒。

最后它们终于被屈打成招，也因此证明了所有六种情况完全成立。

综上所述，此式成立得证！

陆时羡长吐一口气，再用余光看向周围时，诺大的教室居然只剩下他一个人。

他忽然心里一慌，时间还没结束啊，不会吧？

自己花这么大力气证明的题目，别人这么快就做完了？

是我老了提不动屠龙刀了，还是现在的小朋友太厉害？

他一抬头，就看着监考员直盯盯地望着他。

什么意思？是我让你失望了吗？

对不起我道歉，我承认我真的是个数学渣渣。

他颇为忧郁地起身交卷，然后收拾行李，准备离开这个伤心地。

可没想到当他离开的时候，背后传来监考员的赞叹声。

“哎呦，不错哦！这个考场的人早就放弃提前走了，只有你还在默默坚持。”

陆时羡： ? ??？

“不管对错，你能做完，也不愧我盯你一个人盯了一个小时了。”

陆时羡： ε? (?＞ 灬 ＜)?3

陆时羡本来低潮的心情又渐渐回升起来。

这意思好像是我还算可以，宝刀未老啊！